جواب کاردرکلاس صفحه 113 ریاضی یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه 113 - معادلات لگاریتمی برای حل معادلات لگاریتمی، از تعریف اصلی لگاریتم استفاده می‌کنیم که بیان می‌کند اگر $\log_a x = y$ باشد، آنگاه $a^y = x$. همچنین باید توجه داشت که عبارت جلوی لگاریتم همواره باید **مثبت** باشد. **گام‌به‌گام حل معادلات:** 1) **$\log_5 x = 3$**: طبق تعریف: $x = 5^3$. بنابراین **$x = 125$**. این جواب مثبت است و قابل قبول می‌باشد. 2) **$\log_2 (2x + 1) = 3$**: طبق تعریف: $2x + 1 = 2^3 \Rightarrow 2x + 1 = 8 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow$ **$x = 3.5$**. این مقدار باعث مثبت شدن عبارت جلوی لگاریتم می‌شود ($2(3.5)+1 = 8 > 0$)، پس قابل قبول است. 3) **$\log_2 (x + 1) + \log_2 (x + 4) = 2$**: ابتدا با استفاده از ویژگی جمع لگاریتم‌ها (تبدیل به ضرب)، معادله را ساده می‌کنیم: $\log_2 [(x + 1)(x + 4)] = 2 \Rightarrow (x + 1)(x + 4) = 2^2 \Rightarrow x^2 + 5x + 4 = 4 \Rightarrow x^2 + 5x = 0 \Rightarrow x(x + 5) = 0$. جواب‌ها $x = 0$ و $x = -5$ هستند. * بررسی دامنه: برای $x = 0$ عبارات جلوی لگاریتم ($1$ و $4$) مثبت هستند (**قابل قبول**). برای $x = -5$ عبارات منفی می‌شوند (**غیر قابل قبول**). 4) **$\log_3 243 = 2x + 1$**: می‌دانیم $243 = 3^5$، پس $\log_3 3^5 = 5$. معادله به این صورت در می‌آید: $5 = 2x + 1 \Rightarrow 4 = 2x \Rightarrow$ **$x = 2$**. 5) **$\log_3 (x - 1) = 4$**: $x - 1 = 3^4 \Rightarrow x - 1 = 81 \Rightarrow$ **$x = 82$**. 6) **$\log (2x) - \log (x - 3) = 1$**: طبق ویژگی تفریق لگاریتم‌ها (تبدیل به تقسیم) و با فرض مبنای 10: $\log \frac{2x}{x - 3} = 1 \Rightarrow \frac{2x}{x - 3} = 10^1 \Rightarrow 2x = 10x - 30 \Rightarrow 8x = 30 \Rightarrow$ **$x = \frac{30}{8} = 3.75$**. این جواب در دامنه صدق می‌کند. 7) **$2 \log_4 (x - 1) = 3$**: ابتدا طرفین را بر 2 تقسیم می‌کنیم: $\log_4 (x - 1) = 1.5$. $x - 1 = 4^{1.5} \Rightarrow x - 1 = (2^2)^{1.5} \Rightarrow x - 1 = 2^3 \Rightarrow x - 1 = 8 \Rightarrow$ **$x = 9$**.